Ecuaciones-Diferenciales Homogeneas

Ejemplo

$$(xy-y^{2}+x^{2})dx-x^{2}dy=0$$


Paso 1. Llevar a la forma de Ecuaciones Homogéneas

$$\left[\frac{dy}{dx}=f \left(\frac{y}{x}\right) \pm Constantes \not= x,z,y,w.\right]$$

$$xy+y^{2}+x^{2}dx-x^{2}dy=0\, Ecuacion\, Original$$
$$(xy+y^{2}+x^{2})dx=x^{2}dy\,Se\,despeja\,\frac{dy}{dx}$$
$$\frac{\left(xy+y^{2}+x^{2}\right)}{x^{2}}=\frac{dy}{dx}$$
$$\frac{dy}{dx}=\frac{\left(xy+y^{2}+x^{2}\right)}{x^{2}}\,\,Se\,separan\,los\,términos\,por\,tener\,factor\,común$$
$$\frac{dy}{dx}=\frac{xy}{x^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}+\frac{x^{2}}{x^{2}}\,\,Se\,reducen\,términos$$
$$\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}+1\,\,Forma\,de\,Ecuación\,Homogenea$$
Paso 2. Se sustituye por las Formulas 
$$a.\,Donde\,v=\frac{y}{x}$$
$$b.\,\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}$$
$$v+x\frac{dv}{dx}=\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}+1$$
Paso 3. Se remplazan las sustituciones en la E. Homogénea, para convertirla en E. Separable
$$v+x\frac{dv}{dx}=v+v^{2}+1\,\,Ecuacion\,Separable$$
Paso 4. Se simplifica
$$v+x\frac{dv}{dx}=v+v^{2}+1$$
$$x\frac{dv}{dx}=v^{2}+1$$
Paso 5. Se separan las variables,V de un lado y X del otro
$$\frac{dv}{\left(v^{2}+1\right)}=\frac{dx}{x}$$
Paso 6. Se Integra
$$\int\frac{1}{\left(v^{2}+1\right)}dv=\int\frac{1}{x}dx$$
$$tan^{-1}v=lnx+c$$
$$\frac{1}{tan}v=lnx+c$$
Paso 7. Se despeja a V 
$$v=tan\ast lnx+c$$
Paso 8. Se Sustituye a V  
$$v=\frac{y}{x}$$
$$\frac{y}{x}=tan\cdot ln\,x+c$$
Paso 9.Se despeja a Y  
$$y=x\cdot tan\cdot ln\,x+c\,\,Resultado\,Final$$

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