Ecuaciones Diferenciales Inexactas por Factor Integrante

Ecuaciones Diferenciales Inexactas por factor integrante
       
                   $$(3xy+y^{2})+(x{2}+xy)y'=0$$

verificar si la ecuación es exacta por derivadas parciales 
si $$My=Nx$$, entonces la ecuación es exacta de lo contrario no.

         $$My=3x+2y$$
         $$Nx=2x+y$$

La ecuación no es exacta, por lo tanto encontrar su factor integrante.
         $$M(x)=?$$
         $$M(x)=e^{\displaystyle\int\frac{My-Nx}{N}dx}$$
         $$M(x)=e^{\displaystyle\int\frac{(3x+2y)-(2x+y)}{x^{2}+xy}dx}$$
         $$M(x)=e^{\displaystyle\int\frac{3x+2y-2x-y}{x^{2}+xy}dx}$$
         $$M(x)=e^{\displaystyle\int\frac{x+y}{x^{2}+xy}dx}$$

Factorizar el denominador de la integral.

         $$M(x)=e^{\displaystyle\int\frac{\cancel{(x+y)}}{x\cancel{(x+y)}}dx}$$

Multiplicar el factor integrante por la ecuación inicial
    
           $$x\left[\left(3xy+y^{2}\right)+\left(x^{2}+xy\right)y'=0\right]$$

     obtenemos otra ecuación
   $$\underbrace{\left(3x^{2}y+xy^{2}\right)}_{M}+\underbrace{\left(x^{3}+x^{2}y\right)}_{N}y'=0$$

Comprobamos nuevamente la ecuación si es o no exacta por derivadas parciales.
Si $$My=Nx$$, la ecuación es exacta de lo contrario no es exacta

    $$My=3x^{2}+2xy$$
    $$Nx=3x^{2}+2xy$$

"Ahora la ecuación es exacta".
 $$ahora\, encontramos \,\phi$$

$$\phi x=M$$
$$\frac{d\phi}{dx}=M$$
$$\frac{d\phi}{dx}=3x^{2}y+xy^{2}$$
$$d\phi=\left(3x^{2}y+xy^{2}\right)dx$$
Integramos ambos lados; el lado derecho se integra con respecto de "X"

$$\int d\phi=\int \left(3x^{2}y+xy^{2}\right)dx$$
$$\phi=x^{3}y+\frac{1}{2}x^{2}y^{2}+h\left(y\right)$$
$$Sustituimos\, el\, valor\, de\, \phi\,y\,de\,N$$ 
$$\phi y=N$$
$$\underbrace{x^{3}y+\frac{1}{2}x^{2}y^{2}+h\left(y\right)}_{\phi}=\underbrace{x^{3}+x^{2}y}_{N}$$

$$Derivar\, \phi \,con\,respecto\,de\,"y"$$
$$x^{3}+\frac{1}{2}x^{2} \cdot 2y+h\left(y\right)=x^{3}+x^{2}y$$
$$\cancel{x^{3}+x^{2}y}+h'\left(y\right)=\cancel{x^{3}+x^{2}y}$$
Simplificar
Eliminando términos iguales en ambos lados.
$$h\left(y\right)=\phi$$
$$h\left(y\right)=k$$

$$Sustituimos\,el\,valor\,de\,\phi$$
$$x^{3}y+\frac{1}{2}x^{2}y^{2}=k$$

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