Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Por Sustitución (Bernoulli)

Método de Bernoulli: $$ \frac{dy}{dx}+p(x) y = f(x)y^{n} => Forma \, General$$ $$ \frac{dy}{dx}-y=xy^{2}$$ $$ Sustitución: V=y^{1-n}$$ $$ v=y^{1-2}$$ $$v=y^{-1}$$ $$Por \,regla \,de\, la\, cadena\, \frac{dv}{dx}=\frac{dv}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}$$ $$Derivar\, v=y^{-1}\,\,\,\,\,\,\,\,\,=> \,\,\,\,\,\,\, \frac{dv}{dx}=-y^{-2}$$ $$Multiplicar \,\,\,\, \frac{dy}{dx}=-y^{-2} \, \frac{dy}{dx} \,\,\,\, por\, la\, ecuación \,original$$ $$-y^{-2} \left[ \frac{dy}{dx} -y=xy^{2} \right]$$ $$-y^{-2}\,\,\frac{dy}{dx}+y^{-1}=-x$$ $$Sustituimos \, ``\, -y^{-2}\,\frac{dy}{dx}"\,\,\,\,por\,\, \,\, `` \,\frac{dv}{dx}"\,\,\,\,\, y \,\,\, ``\, y^{-1} "\,\, por \,\,\,\,`` \,v"$$ $$\frac{dv}{dx}+v=-x \,\, Obtenemos \, la \, ecuación\, lineal $$ Caso particular de Factor Integrante: $$\frac{dv}{dx}+v=-x$$ Factor Integrante $$u(x)=e^{\displaystyle \int 1 dx}$$$$u(x)=e^{x}$$ Multiplicar el factor Integrante por ambos lados $$e^{x}\left( \frac{dv}{dx} +v \right)=-e^{x}x$$ Integramos ambos lados $$e^{x}v=\displaystyle\int -xe^{x}$$ Por partes $$u=-x \,\,\,\,\,\,\,\, \int dv=\int e^{x}$$ $$du=-dx \,\,\,\,\,\,\,\, v=e^{x}$$ $$\displaystyle \int -xe^{x} dx= -xe^{x}- \int -e^{x}dx$$ $$\displaystyle \int -xe^{x} dx= -xe^{x}+ e^{x} +c $$ $$e^{x}v=-xe^{x}+e^{x} +c $$ Despejar V: $$v= \frac{1}{e^{x}} \left[ -xe^{x} +e^{x}+c \right] $$ $$v=-x+1+\frac{c}{e^{x}}$$ $$-x+1+ce^{-x}$$ Sustituir el valor de "V" $$y^{-1}=-x+1+ce^{-x}$$ Despejar "y": $$y=\left(-x+1+ce^{-x}\right)^{-\frac{1}{1}}$$ $$y=\frac{1}{-x+1+ce^{-x}}$$

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