Ecuaciones Diferenciales Exactas

$$M(x,y)+N(x,y) y'=0$$ $$\phi x=M\,\, \\ \phi y=N \,\,$$ Teorema: $$Si\, M, N,My,Nx \,\,son\, contínuas\, \\ la\, ecuación\,\, M(x,y)+N(x,y) y'=0 \,\,\\es \,exacta\, cuando: My=Nx$$ $$ \underbrace{\left(e^{x} \sin y - 2y \sin x \right)}_{M}+\underbrace{\left(e^{x}\cos y+2\cos x\right)}_{N}y'=0$$ Se deriva parcialmente para comprobar que sean iguales: $$My=Nx\\ \left(e^{x} \cos y - 2 \sin x \right) = \left(e^{x} \cos y - 2 \sin x \right) $$ $$\phi x = M \,\,\,\,\,\,\, \frac{d\phi}{dx} = e^{x}\sin y-2y\sin x$$ $$\displaystyle\int d\phi=\displaystyle\int e^{x}\sin y-2y\sin x \,dx$$ $$ \phi=e^{x}\sin y+2y\cos x+ \textit{h}(y)$$ $$\phi y =N\\ e^{x} \sin y+ 2y \cos x +\textit{h}(y)=e^{x}\cos y + 2\cos x$$ $$ \cancel{e^{x}\cos y}+\cancel{2\cos x}+\textit{h}(y)=\cancel{e^{x}\cos y} + \cancel{2\cos x}$$ $$\textit{h}'(y)=0\\\textit{h}'(y)=c $$

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