Ecuaciones Diferenciales por Método de Factor Integrante

Dada la siguiente ecuación: $$ 2 \tfrac{dy}{dx}+12y=4$$ Devemos llevarla a la forma general $$ \frac{dy}{dx} + p(x)y=g(x)$$ $$ \cfrac{2\frac{dy}{dx}+12y=4}{2}$$ $$ \frac{dy}{dx}+6y=2$$ Calculamos el factor integrante con la siguiente fórmula: $$ e^{\int (x)dx}$$ $$ p(x) = 6$$ $$ u(x) = e^{\displaystyle \int 6 dx }$$ $$ u(x) = e^{6x}$$ Luego se multiplica el factor integrante por ambos lados de la ecuación: $$ e^{6x} \left(\frac{dy}{dx}+6y\right)=e^{6x} \cdot 2$$ $$ \frac{d}{dx} \left( e^{6x} \cdot y\right)=2e^{6x}$$ $$e^{6x}\cdot y= \displaystyle \int 2e^{6x} dx $$ $$e^{6x}\cdot y=2 \displaystyle \int e^{6x} dx$$ $$e^{6x}\cdot y=2 \frac{e^{6x}}{6}+c$$ $$e^{6x}\cdot y= \frac{e^{6x}}{3}+c$$ $$e^{6x}\cdot y=\frac{e^{6x}}{3e^{6x}}+ \frac{c}{e^{6x}}$$ $$y=\frac{1}{3}+c e^{-6x}$$

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