Ecuaciones Diferenciales Inexactas por Factor Integrante

Ecuaciones Diferenciales Inexactas por factor integrante
       
                   $$(3xy+y^{2})+(x{2}+xy)y'=0$$

verificar si la ecuación es exacta por derivadas parciales 
si $$My=Nx$$, entonces la ecuación es exacta de lo contrario no.

         $$My=3x+2y$$
         $$Nx=2x+y$$

La ecuación no es exacta, por lo tanto encontrar su factor integrante.
         $$M(x)=?$$
         $$M(x)=e^{\displaystyle\int\frac{My-Nx}{N}dx}$$
         $$M(x)=e^{\displaystyle\int\frac{(3x+2y)-(2x+y)}{x^{2}+xy}dx}$$
         $$M(x)=e^{\displaystyle\int\frac{3x+2y-2x-y}{x^{2}+xy}dx}$$
         $$M(x)=e^{\displaystyle\int\frac{x+y}{x^{2}+xy}dx}$$

Factorizar el denominador de la integral.

         $$M(x)=e^{\displaystyle\int\frac{\cancel{(x+y)}}{x\cancel{(x+y)}}dx}$$

Multiplicar el factor integrante por la ecuación inicial
    
           $$x\left[\left(3xy+y^{2}\right)+\left(x^{2}+xy\right)y'=0\right]$$

     obtenemos otra ecuación
   $$\underbrace{\left(3x^{2}y+xy^{2}\right)}_{M}+\underbrace{\left(x^{3}+x^{2}y\right)}_{N}y'=0$$

Comprobamos nuevamente la ecuación si es o no exacta por derivadas parciales.
Si $$My=Nx$$, la ecuación es exacta de lo contrario no es exacta

    $$My=3x^{2}+2xy$$
    $$Nx=3x^{2}+2xy$$

"Ahora la ecuación es exacta".
 $$ahora\, encontramos \,\phi$$

$$\phi x=M$$
$$\frac{d\phi}{dx}=M$$
$$\frac{d\phi}{dx}=3x^{2}y+xy^{2}$$
$$d\phi=\left(3x^{2}y+xy^{2}\right)dx$$
Integramos ambos lados; el lado derecho se integra con respecto de "X"

$$\int d\phi=\int \left(3x^{2}y+xy^{2}\right)dx$$
$$\phi=x^{3}y+\frac{1}{2}x^{2}y^{2}+h\left(y\right)$$
$$Sustituimos\, el\, valor\, de\, \phi\,y\,de\,N$$ 
$$\phi y=N$$
$$\underbrace{x^{3}y+\frac{1}{2}x^{2}y^{2}+h\left(y\right)}_{\phi}=\underbrace{x^{3}+x^{2}y}_{N}$$

$$Derivar\, \phi \,con\,respecto\,de\,"y"$$
$$x^{3}+\frac{1}{2}x^{2} \cdot 2y+h\left(y\right)=x^{3}+x^{2}y$$
$$\cancel{x^{3}+x^{2}y}+h'\left(y\right)=\cancel{x^{3}+x^{2}y}$$
Simplificar
Eliminando términos iguales en ambos lados.
$$h\left(y\right)=\phi$$
$$h\left(y\right)=k$$

$$Sustituimos\,el\,valor\,de\,\phi$$
$$x^{3}y+\frac{1}{2}x^{2}y^{2}=k$$

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Método de Bernoulli: $$ \frac{dy}{dx}+p(x) y = f(x)y^{n} => Forma \, General$$ $$ \frac{dy}{dx}-y=xy^{2}$$ $$ Sustitución: V=y^{1-n}$$ $$ v=y^{1-2}$$ $$v=y^{-1}$$ $$Por \,regla \,de\, la\, cadena\, \frac{dv}{dx}=\frac{dv}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}$$ $$Derivar\, v=y^{-1}\,\,\,\,\,\,\,\,\,=> \,\,\,\,\,\,\, \frac{dv}{dx}=-y^{-2}$$ $$Multiplicar \,\,\,\, \frac{dy}{dx}=-y^{-2} \, \frac{dy}{dx} \,\,\,\, por\, la\, ecuación \,original$$ $$-y^{-2} \left[ \frac{dy}{dx} -y=xy^{2} \right]$$ $$-y^{-2}\,\,\frac{dy}{dx}+y^{-1}=-x$$ $$Sustituimos \, ``\, -y^{-2}\,\frac{dy}{dx}"\,\,\,\,por\,\, \,\, `` \,\frac{dv}{dx}"\,\,\,\,\, y \,\,\, ``\, y^{-1} "\,\, por \,\,\,\,`` \,v"$$ $$\frac{dv}{dx}+v=-x \,\, Obtenemos \, la \, ecuación\, lineal $$ Caso particular de Factor Integrante: $$\frac{dv}{dx}+v=-x$$ Factor Integrante $$u(x)=e^{\displaystyle \int 1 dx}$$$$u(x)=e^{x}$$ Multiplicar el factor Integrante por ambos lados $$e^{x}\left( \frac{dv}{dx} +v \right)=-e^{x}x$$ Integramos ambos lados $$e^{x}v=\displaystyle\int -xe^{x}$$ Por partes $$u=-x \,\,\,\,\,\,\,\, \int dv=\int e^{x}$$ $$du=-dx \,\,\,\,\,\,\,\, v=e^{x}$$ $$\displaystyle \int -xe^{x} dx= -xe^{x}- \int -e^{x}dx$$ $$\displaystyle \int -xe^{x} dx= -xe^{x}+ e^{x} +c $$ $$e^{x}v=-xe^{x}+e^{x} +c $$ Despejar V: $$v= \frac{1}{e^{x}} \left[ -xe^{x} +e^{x}+c \right] $$ $$v=-x+1+\frac{c}{e^{x}}$$ $$-x+1+ce^{-x}$$ Sustituir el valor de "V" $$y^{-1}=-x+1+ce^{-x}$$ Despejar "y": $$y=\left(-x+1+ce^{-x}\right)^{-\frac{1}{1}}$$ $$y=\frac{1}{-x+1+ce^{-x}}$$

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Ecuaciones Diferenciales Exactas

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INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
 Que es una ecuación diferencial ?
Una ecuación diferencial contiene derivadas de una o mas variables respecto a una o mas independientes, se dice que es una ecuación diferencial se denomina   $$\frac{d^2y}{dx}+5x\frac{dy}{dx}+3y=0$$
donde la función Y es una variable depediente y X una variable independiente 
 se Clasifican por:

• TIPO
• ORDEN
• LINEAL

• TIPO:

            Contiene una o mas variables dependientes pero una sola variable independiente:

$$y''-3y^2y'+xy=\varnothing$$

       CLASIFICACIÓN:

• ED. ORDINARIA
• ED. PARCIALES                                      

 ED. ORDINARIA                                        
                                   $$\frac{dx}{dt}+\frac{dy}{dt}=2x+y$$

  ED. PARCIALES

 Para una ecuación diferencial parcial se involucran una o mas variables independientes.
$$\frac{d^2y}{dt^2}-4\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{x^2}t$$

• ORDEN: se refiere a la mayor o máxima derivada que aparece en la ecuación diferencial.

         $$y'''-3y^2y+xy'=\varnothing$$

       de orden 3 o tercera

• LINEAL: 
• Lineales
• No lineales

     Es lineal si todos sus términos son lineales con respecto a la variable Y.
REGLAS: 
1. la variable dependiente "Y" y todas sus derivadas son de primer grado

2. cada coeficiente depende solo de la variable independiente "x".
              $$x^2y'-3xy'+2y=e^{-x}$$

 CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES ORDINARIAS HOMOGÉNEAS Y NO HOMOGÉNEAS

HOMOGÉNEAS
   Si no contiene términos que dependen únicamente de su variable independiente es HOMOGÉNEA  de lo contrario es NO HOMOGÉNEA.

 $$X^2\frac{d^2y}{dx^2}+\frac8x\frac{dy}{dx}-y=e^x\;no\;homogenea$$


$$\frac{d^2y}{dx^{}}+y\frac{dy}{dx}+e^xy=\varnothing\;homogenea$$
                  
                     

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Dada la siguiente ecuación: $$y\,'+ \frac{1}{x}y=3\cos 2x$$ $$y=u(x) \cdot v(x)$$ Procedemos a calcular el factor integrante $$u(x)=e^{-\displaystyle\int p(x)}$$ $$u(x)=e^{-\displaystyle\int\tfrac{1}{x}}$$ $$u(x)=\frac{1}{x}$$ $$v(x)=\displaystyle\int \tfrac{g(x)}{u(x)}$$ $$v(x)=\displaystyle\int \tfrac{3\cos 2x}{\tfrac{1}{x}}$$ $$v(x)= \displaystyle\int x3\cos 2x dx $$ $$3\displaystyle\int x \cos 2x$$ $$t=x \,\,\,\,\,\, dt=dx$$ $$ds=\cos 2x \,\,\,\,\,\, s=\frac{1}{2} \sin 2x $$ $$3\left( \frac{x}{2} \sin 2x - \displaystyle\int \tfrac{1}{2} \sin 2x \, dx\right)$$ $$3\left( \frac{x}{2} \sin 2x - +\tfrac{1}{4} \cos 2x + c\right)$$ $$v(x)=\frac{3x}{2}\sin 2x+\frac{3}{4} \cos 2x +c$$ $$y=u(x)\cdot v(x)$$ $$y=\frac{1}{x}\left( \frac{3x}{2}\sin 2x+\frac{3}{4} \cos 2x +c\right)$$ $$y=\frac{3}{2}\sin 2x+\frac{1}{4x}+\frac{c}{x}$$

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