Reducción a Separables Variables

Reducción a Separables Variables

Ejemplo:  
                      $$\frac{dy}{dx}=Cos(x+y)$$
Para esta operación hay 6 pasos que debemos tomar en cuenta:


1) Tomamos la ecuación $$\frac{dy}{dx}$$ del lado izquierdo y las sumas de las variables "x,y" del lado derecho.

                          $$\frac{dy}{dx}= Cos(x+y)$$

2) Se convierte  $$\frac{dy}{dx}\, en \,\,"v"$$
       
                         $$\left[v=x+y\right]\,\,e\,ignoramos\,de\,momento\,"cos"$$

3)Hacemos un despeje de la variable "y"
           
                          $$\left[y=v-x\right]$$
4)Arreglamos nuestra formula derivando con respecto a "x"

                        $$\left[\frac{dy}{dx}=\frac{dv}{dx}-1\right]$$

5) Sustituimos de esta manera pero ahora no ignoramos el "cos"

             $$\frac{dv}{dx}-1=Cos\left(v\right)$$
            $$\frac{dv}{dx}=cos(v)+1$$
            $$dv=cos(v)+1dx$$
             $$\frac{dv}{Cos(v)+1}=\int dx$$

6) El último paso es solo una Integración pero no hay un caso es especial, la Integración puede variar según el problema.

              $$\int\frac{dv}{Cos(v)+1}=\int dx$$

              $$tan\frac{v}{2}=x+c$$

              $$\left[tan\frac{(x+y)}{2}=x+c\right]$$

Pero recordemos que por ser "Cos"  despejamos "x" y "y"

                   

                             $$y(\phi)=\frac{\pi}{4}$$

                             $$x=\phi$$

                              $$y=\frac{\pi}{4}$$

                             $$tan(\phi+\frac{\pi}{y})=\phi+c$$

                             $$tan(\frac{\pi}{8})=c$$
$$\left[tan\frac{(x+y)}{2}=x+tan (\frac{\pi}{8})\right]$$

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Ecuaciones-Diferenciales Homogeneas

Ejemplo

$$(xy-y^{2}+x^{2})dx-x^{2}dy=0$$


Paso 1. Llevar a la forma de Ecuaciones Homogéneas

$$\left[\frac{dy}{dx}=f \left(\frac{y}{x}\right) \pm Constantes \not= x,z,y,w.\right]$$

$$xy+y^{2}+x^{2}dx-x^{2}dy=0\, Ecuacion\, Original$$
$$(xy+y^{2}+x^{2})dx=x^{2}dy\,Se\,despeja\,\frac{dy}{dx}$$
$$\frac{\left(xy+y^{2}+x^{2}\right)}{x^{2}}=\frac{dy}{dx}$$
$$\frac{dy}{dx}=\frac{\left(xy+y^{2}+x^{2}\right)}{x^{2}}\,\,Se\,separan\,los\,términos\,por\,tener\,factor\,común$$
$$\frac{dy}{dx}=\frac{xy}{x^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}+\frac{x^{2}}{x^{2}}\,\,Se\,reducen\,términos$$
$$\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}+1\,\,Forma\,de\,Ecuación\,Homogenea$$
Paso 2. Se sustituye por las Formulas 
$$a.\,Donde\,v=\frac{y}{x}$$
$$b.\,\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}$$
$$v+x\frac{dv}{dx}=\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}+1$$
Paso 3. Se remplazan las sustituciones en la E. Homogénea, para convertirla en E. Separable
$$v+x\frac{dv}{dx}=v+v^{2}+1\,\,Ecuacion\,Separable$$
Paso 4. Se simplifica
$$v+x\frac{dv}{dx}=v+v^{2}+1$$
$$x\frac{dv}{dx}=v^{2}+1$$
Paso 5. Se separan las variables,V de un lado y X del otro
$$\frac{dv}{\left(v^{2}+1\right)}=\frac{dx}{x}$$
Paso 6. Se Integra
$$\int\frac{1}{\left(v^{2}+1\right)}dv=\int\frac{1}{x}dx$$
$$tan^{-1}v=lnx+c$$
$$\frac{1}{tan}v=lnx+c$$
Paso 7. Se despeja a V 
$$v=tan\ast lnx+c$$
Paso 8. Se Sustituye a V  
$$v=\frac{y}{x}$$
$$\frac{y}{x}=tan\cdot ln\,x+c$$
Paso 9.Se despeja a Y  
$$y=x\cdot tan\cdot ln\,x+c\,\,Resultado\,Final$$

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Ecuaciones Diferenciales Inexactas por Factor Integrante

Ecuaciones Diferenciales Inexactas por factor integrante
       
                   $$(3xy+y^{2})+(x{2}+xy)y'=0$$

verificar si la ecuación es exacta por derivadas parciales 
si $$My=Nx$$, entonces la ecuación es exacta de lo contrario no.

         $$My=3x+2y$$
         $$Nx=2x+y$$

La ecuación no es exacta, por lo tanto encontrar su factor integrante.
         $$M(x)=?$$
         $$M(x)=e^{\displaystyle\int\frac{My-Nx}{N}dx}$$
         $$M(x)=e^{\displaystyle\int\frac{(3x+2y)-(2x+y)}{x^{2}+xy}dx}$$
         $$M(x)=e^{\displaystyle\int\frac{3x+2y-2x-y}{x^{2}+xy}dx}$$
         $$M(x)=e^{\displaystyle\int\frac{x+y}{x^{2}+xy}dx}$$

Factorizar el denominador de la integral.

         $$M(x)=e^{\displaystyle\int\frac{\cancel{(x+y)}}{x\cancel{(x+y)}}dx}$$

Multiplicar el factor integrante por la ecuación inicial
    
           $$x\left[\left(3xy+y^{2}\right)+\left(x^{2}+xy\right)y'=0\right]$$

     obtenemos otra ecuación
   $$\underbrace{\left(3x^{2}y+xy^{2}\right)}_{M}+\underbrace{\left(x^{3}+x^{2}y\right)}_{N}y'=0$$

Comprobamos nuevamente la ecuación si es o no exacta por derivadas parciales.
Si $$My=Nx$$, la ecuación es exacta de lo contrario no es exacta

    $$My=3x^{2}+2xy$$
    $$Nx=3x^{2}+2xy$$

"Ahora la ecuación es exacta".
 $$ahora\, encontramos \,\phi$$

$$\phi x=M$$
$$\frac{d\phi}{dx}=M$$
$$\frac{d\phi}{dx}=3x^{2}y+xy^{2}$$
$$d\phi=\left(3x^{2}y+xy^{2}\right)dx$$
Integramos ambos lados; el lado derecho se integra con respecto de "X"

$$\int d\phi=\int \left(3x^{2}y+xy^{2}\right)dx$$
$$\phi=x^{3}y+\frac{1}{2}x^{2}y^{2}+h\left(y\right)$$
$$Sustituimos\, el\, valor\, de\, \phi\,y\,de\,N$$ 
$$\phi y=N$$
$$\underbrace{x^{3}y+\frac{1}{2}x^{2}y^{2}+h\left(y\right)}_{\phi}=\underbrace{x^{3}+x^{2}y}_{N}$$

$$Derivar\, \phi \,con\,respecto\,de\,"y"$$
$$x^{3}+\frac{1}{2}x^{2} \cdot 2y+h\left(y\right)=x^{3}+x^{2}y$$
$$\cancel{x^{3}+x^{2}y}+h'\left(y\right)=\cancel{x^{3}+x^{2}y}$$
Simplificar
Eliminando términos iguales en ambos lados.
$$h\left(y\right)=\phi$$
$$h\left(y\right)=k$$

$$Sustituimos\,el\,valor\,de\,\phi$$
$$x^{3}y+\frac{1}{2}x^{2}y^{2}=k$$

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Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Por Sustitución (Bernoulli)

Método de Bernoulli: $$ \frac{dy}{dx}+p(x) y = f(x)y^{n} => Forma \, General$$ $$ \frac{dy}{dx}-y=xy^{2}$$ $$ Sustitución: V=y^{1-n}$$ $$ v=y^{1-2}$$ $$v=y^{-1}$$ $$Por \,regla \,de\, la\, cadena\, \frac{dv}{dx}=\frac{dv}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}$$ $$Derivar\, v=y^{-1}\,\,\,\,\,\,\,\,\,=> \,\,\,\,\,\,\, \frac{dv}{dx}=-y^{-2}$$ $$Multiplicar \,\,\,\, \frac{dy}{dx}=-y^{-2} \, \frac{dy}{dx} \,\,\,\, por\, la\, ecuación \,original$$ $$-y^{-2} \left[ \frac{dy}{dx} -y=xy^{2} \right]$$ $$-y^{-2}\,\,\frac{dy}{dx}+y^{-1}=-x$$ $$Sustituimos \, ``\, -y^{-2}\,\frac{dy}{dx}"\,\,\,\,por\,\, \,\, `` \,\frac{dv}{dx}"\,\,\,\,\, y \,\,\, ``\, y^{-1} "\,\, por \,\,\,\,`` \,v"$$ $$\frac{dv}{dx}+v=-x \,\, Obtenemos \, la \, ecuación\, lineal $$ Caso particular de Factor Integrante: $$\frac{dv}{dx}+v=-x$$ Factor Integrante $$u(x)=e^{\displaystyle \int 1 dx}$$$$u(x)=e^{x}$$ Multiplicar el factor Integrante por ambos lados $$e^{x}\left( \frac{dv}{dx} +v \right)=-e^{x}x$$ Integramos ambos lados $$e^{x}v=\displaystyle\int -xe^{x}$$ Por partes $$u=-x \,\,\,\,\,\,\,\, \int dv=\int e^{x}$$ $$du=-dx \,\,\,\,\,\,\,\, v=e^{x}$$ $$\displaystyle \int -xe^{x} dx= -xe^{x}- \int -e^{x}dx$$ $$\displaystyle \int -xe^{x} dx= -xe^{x}+ e^{x} +c $$ $$e^{x}v=-xe^{x}+e^{x} +c $$ Despejar V: $$v= \frac{1}{e^{x}} \left[ -xe^{x} +e^{x}+c \right] $$ $$v=-x+1+\frac{c}{e^{x}}$$ $$-x+1+ce^{-x}$$ Sustituir el valor de "V" $$y^{-1}=-x+1+ce^{-x}$$ Despejar "y": $$y=\left(-x+1+ce^{-x}\right)^{-\frac{1}{1}}$$ $$y=\frac{1}{-x+1+ce^{-x}}$$

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Ecuaciones Diferenciales por Método de Factor Integrante

Dada la siguiente ecuación: $$ 2 \tfrac{dy}{dx}+12y=4$$ Devemos llevarla a la forma general $$ \frac{dy}{dx} + p(x)y=g(x)$$ $$ \cfrac{2\frac{dy}{dx}+12y=4}{2}$$ $$ \frac{dy}{dx}+6y=2$$ Calculamos el factor integrante con la siguiente fórmula: $$ e^{\int (x)dx}$$ $$ p(x) = 6$$ $$ u(x) = e^{\displaystyle \int 6 dx }$$ $$ u(x) = e^{6x}$$ Luego se multiplica el factor integrante por ambos lados de la ecuación: $$ e^{6x} \left(\frac{dy}{dx}+6y\right)=e^{6x} \cdot 2$$ $$ \frac{d}{dx} \left( e^{6x} \cdot y\right)=2e^{6x}$$ $$e^{6x}\cdot y= \displaystyle \int 2e^{6x} dx $$ $$e^{6x}\cdot y=2 \displaystyle \int e^{6x} dx$$ $$e^{6x}\cdot y=2 \frac{e^{6x}}{6}+c$$ $$e^{6x}\cdot y= \frac{e^{6x}}{3}+c$$ $$e^{6x}\cdot y=\frac{e^{6x}}{3e^{6x}}+ \frac{c}{e^{6x}}$$ $$y=\frac{1}{3}+c e^{-6x}$$

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Ecuaciones Diferenciales Exactas

$$M(x,y)+N(x,y) y'=0$$ $$\phi x=M\,\, \\ \phi y=N \,\,$$ Teorema: $$Si\, M, N,My,Nx \,\,son\, contínuas\, \\ la\, ecuación\,\, M(x,y)+N(x,y) y'=0 \,\,\\es \,exacta\, cuando: My=Nx$$ $$ \underbrace{\left(e^{x} \sin y - 2y \sin x \right)}_{M}+\underbrace{\left(e^{x}\cos y+2\cos x\right)}_{N}y'=0$$ Se deriva parcialmente para comprobar que sean iguales: $$My=Nx\\ \left(e^{x} \cos y - 2 \sin x \right) = \left(e^{x} \cos y - 2 \sin x \right) $$ $$\phi x = M \,\,\,\,\,\,\, \frac{d\phi}{dx} = e^{x}\sin y-2y\sin x$$ $$\displaystyle\int d\phi=\displaystyle\int e^{x}\sin y-2y\sin x \,dx$$ $$ \phi=e^{x}\sin y+2y\cos x+ \textit{h}(y)$$ $$\phi y =N\\ e^{x} \sin y+ 2y \cos x +\textit{h}(y)=e^{x}\cos y + 2\cos x$$ $$ \cancel{e^{x}\cos y}+\cancel{2\cos x}+\textit{h}(y)=\cancel{e^{x}\cos y} + \cancel{2\cos x}$$ $$\textit{h}'(y)=0\\\textit{h}'(y)=c $$

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INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
 Que es una ecuación diferencial ?
Una ecuación diferencial contiene derivadas de una o mas variables respecto a una o mas independientes, se dice que es una ecuación diferencial se denomina   $$\frac{d^2y}{dx}+5x\frac{dy}{dx}+3y=0$$
donde la función Y es una variable depediente y X una variable independiente 
 se Clasifican por:

• TIPO
• ORDEN
• LINEAL

• TIPO:

            Contiene una o mas variables dependientes pero una sola variable independiente:

$$y''-3y^2y'+xy=\varnothing$$

       CLASIFICACIÓN:

• ED. ORDINARIA
• ED. PARCIALES                                      

 ED. ORDINARIA                                        
                                   $$\frac{dx}{dt}+\frac{dy}{dt}=2x+y$$

  ED. PARCIALES

 Para una ecuación diferencial parcial se involucran una o mas variables independientes.
$$\frac{d^2y}{dt^2}-4\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{x^2}t$$

• ORDEN: se refiere a la mayor o máxima derivada que aparece en la ecuación diferencial.

         $$y'''-3y^2y+xy'=\varnothing$$

       de orden 3 o tercera

• LINEAL: 
• Lineales
• No lineales

     Es lineal si todos sus términos son lineales con respecto a la variable Y.
REGLAS: 
1. la variable dependiente "Y" y todas sus derivadas son de primer grado

2. cada coeficiente depende solo de la variable independiente "x".
              $$x^2y'-3xy'+2y=e^{-x}$$

 CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES ORDINARIAS HOMOGÉNEAS Y NO HOMOGÉNEAS

HOMOGÉNEAS
   Si no contiene términos que dependen únicamente de su variable independiente es HOMOGÉNEA  de lo contrario es NO HOMOGÉNEA.

 $$X^2\frac{d^2y}{dx^2}+\frac8x\frac{dy}{dx}-y=e^x\;no\;homogenea$$


$$\frac{d^2y}{dx^{}}+y\frac{dy}{dx}+e^xy=\varnothing\;homogenea$$
                  
                     

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